Критерий Келли для трейдера: сколько рисковать на сделку

Каждый трейдер отвечает на вопрос «сколько рисковать?», чаще всего по привычке: 1 %, 2 %, «как чувствуется». Критерий Келли — математический ответ на тот же вопрос, и к нему прилагается предупреждение, которое в большинстве пересказов в интернете опускают. В этой статье мы опираемся на первоисточник — работу Эдварда Торпа, математика, который применил критерий сначала к блэкджеку, а потом к фондовому рынку.

Какую задачу решает Келли

Торп формулирует постановку прямо: главная проблема — найти ставки с положительным математическим ожиданием, но «the gambler also needs to know how to manage his money, i.e. how much to bet» — игроку ещё нужно уметь управлять деньгами, то есть знать, сколько ставить. Он предлагает критерий Келли — «to maximize the expected value of the logarithm of wealth», максимизировать ожидаемое значение логарифма капитала.¹

Почему логарифм, а не обычное среднее? Торп показывает, что обе очевидные альтернативы не работают:

• Ставить на всё каждый раз. Это максимизирует ожидаемый выигрыш после n сделок, но вероятность разорения равна 1 − pⁿ и с ростом n стремится к 1, так что «ruin is almost sure» — разорение почти неизбежно.¹
• Ставить минимум. Это минимизирует шанс разорения, «but this unfortunately also minimizes the expected gain» — но, к сожалению, минимизирует и ожидаемый выигрыш.¹

Келли — промежуточная стратегия: всегда ставить одну и ту же долю f текущего капитала и выбрать ту долю, которая максимизирует долгосрочный рост.

Формула

Для простейшей игры — ставка на равных, выигрыш с вероятностью p и проигрыш с вероятностью q = 1 − p — Торп показывает, что рост за ставку равен g(f) = p·log(1 + f) + q·log(1 − f), а максимум достигается при f* = p − q.¹

Сделка редко бывает «на равных». Пусть сделка выигрывает b единиц на каждую рискованную единицу (отношение прибыли к риску равно b) с вероятностью p, а иначе теряет единицу. Максимизируя p·log(1 + b·f) + q·log(1 − f) тем же способом, получаем:

f* = p − q / b

Это обобщение стандартное, мы вывели его здесь из постановки Торпа. На языке трейдинга p — доля прибыльных сделок, b — расстояние до цели, делённое на расстояние до стопа. Доля f — часть капитала, которую вы теряете при срабатывании стопа, то есть риск на сделку.

Пример на условных числах: доля прибыльных сделок 45 % и отношение прибыль/риск 2:1 дают f* = 0.45 − 0.55/2 = 0.175. Полный Келли предлагает рисковать 17.5 % счёта на каждой сделке. Мало кто выдержит такое, и следующий раздел показывает, что пытаться не нужно.

Почему не полный Келли

Всё в формуле зависит от p и b, а вы их никогда не знаете. Вы оцениваете их по бэктесту или истории сделок, а оценки смещены вверх: механизм мы разобрали в статье «Почему большинство бэктестов завышают результат». Торп говорит то же самое о рынках. Он сравнивает истинное преимущество с расчётным и показывает, что одновременная переоценка преимущества и ставка выше Келли — катастрофа. Вот его вывод:¹

«it is wise to assume mt < me and to choose f < f*e …» — разумно считать, что истинное преимущество меньше расчётного, и выбирать долю меньше расчётной доли Келли

— Edward O. Thorp, The Kelly Criterion in Blackjack, Sports Betting, and the Stock Market

Здесь mt — истинное преимущество, me — расчётное. Его доводы стоит запомнить, потому что они описывают реальную торговлю: оценки избыточной доходности «are more likely to be too high than too low» — скорее завышены, чем занижены; цены следуют нестационарному процессу, где параметры меняются; «systems that worked may be partly or entirely based on data mining» — системы, которые работали, могут частично или целиком опираться на перебор данных; а работающие системы «attract capital, which tends to push exceptional mt down towards average values» — привлекают капитал, и это тянет исключительное преимущество к среднему.¹

Что стоит и что экономит доля Келли

Пусть c — доля Келли, которую вы ставите (c = 0.5 — половинный Келли). В непрерывной модели Торпа (при нулевой безрисковой ставке) темп роста относительно максимального равен c·(2 − c), а относительный риск, то есть стандартное отклонение результата, равен c.¹

Половинный Келли сохраняет три четверти роста при вдвое меньшей волатильности; Торп отмечает, что ожидаемый темп роста «reduced to 3/4» — снижается до 3/4.¹ Таблица показывает и то, почему ставить больше Келли нерационально: при 1.5 Келли вы берёте на 50 % больше волатильности за тот же рост, что даёт половинный Келли, а при 2 Келли рост равен нулю. Его практический совет: выбор f между половиной и полным Келли «offers protection against g ⩽ 0 with a reduction of g that is likely to be no more than 25%» — защищает от нулевого и отрицательного роста, снижая рост, вероятно, не более чем на 25 %.¹

Пример с ошибкой оценки

Возьмём прежнюю сделку: расчётная доля прибыльных 45 %, прибыль/риск 2, расчётный полный Келли 17.5 %. Допустим, реальная доля прибыльных 40 % — скромная ошибка в 5 пунктов, которую бэктесты дают постоянно. Реальная доля Келли 0.40 − 0.60/2 = 0.10.

• Ставка расчётного полного Келли (17.5 %) равна 1.75 реального Келли. Рост относительно максимума по приближению Торпа равен 1.75 × 0.25 = 44 %: вы берёте заметно больше риска и получаете меньше половины возможного роста.
• Ставка половины расчётного Келли (8.75 %) равна 0.875 реального Келли. Рост равен 0.875 × 1.125 = 98 % от максимума, а волатильность ниже, чем у реального Келли.

Небольшой запас на ошибку оценки почти ничего не стоит, а его отсутствие стоит больше половины роста. Это и есть настоящий довод за долю Келли, и он следует из неопределённости p и b, а не из робости.

Как применять на практике

1. Риск — это процент капитала, который вы теряете при срабатывании стопа, а не размер позиции. Считайте f по расстоянию до стопа: размер позиции = (капитал × f) ÷ расстояние до стопа в цене.
2. Оценивайте p и b на отложенных данных, после комиссий. Комиссии уменьшают и b, и p; при тонком преимуществе они могут перевернуть знак p − q/b, и правильная ставка — ноль.
3. Исходите из того, что истинное преимущество меньше расчётного. Берите от четверти до половины расчётного Келли, пока живая история сделок не подтвердит цифры.
4. Ограничьте число коррелированных позиций. Келли предполагает независимые ставки. Пять лонгов по коррелированным альткоинам ближе к одной крупной ставке.
5. Если формула даёт ноль или отрицательное число, верьте ей. Это значит, что при ваших цифрах у сделки нет положительного ожидания.

Это обучающий материал, а не инвестиционная рекомендация. Критерий Келли максимизирует долгосрочный рост при допущениях, которые реальные рынки нарушают.